Z punktu widzenia niniejszej pracy tj. przygotowania symulacji przewodnictwa temperaturowego, analiza w układzie jednowymiarowym jest wstępem do rozważań numerycznych.

Nad badaniem przepływu ciepła w ciałach stałych pracowało wielu wybitnych fizyków eksperymentatorów.

Już w roku 1822 Fourier zaprezentował Francuskiej Akademii Nauk pracę pod tytułem "Theorie de la Chaleur", w której to po raz pierwszy pojawił się opis matematyczny przepływu ciepła. Była to bardzo ważna praca ponieważ całkowite zrównoważenie temperatury uznawane było wówczas jak jedna z możliwości śmierci Wszechświata. Dzisiaj  praca Fouriera jest nadal aktualna z dwóch dodatkowych powodów: wprowadza ona teorię szeregów Fouriera oraz  po raz pierwszy zaprezentowano w niej równanie przewod nictwa temperaturowego (zwane obecnie równaniem Fouriera).

Na strumień przepływu ciepła Fourier zaproponował równanie:

gdzie l [W/mK] okre śla współczynnik przewodnictwa cieplnego, T(r,t) - jest polem temperatury, a q(r,t) jest strumieniem ciepła .
 

Z równania (2.1) po przekształceniu Fourier otrzymał:

nazywane obecnie równaniem Fouriera przewodnictwa temperaturowego.

Uwzględniając wpływ źódeł ciepła (oznaczony tutaj g(r,t) ) otrzymujemy:
 
 

Wyznaczenie dokładnego rozwiązania T(r,t) jest możliwe tylko w nielicznych przypadkach, np. gdy obszar poszukiwanego pola jest prostopadłościanem, kulą, walcem kołowym o nieskończonej długości itp. i dla bardzo uproszczonych warunków granicznych. Jednak nawet dla wymienionych wyidealizowanych przypadków wyznaczona funkcja T(r,t) określająca pole temperatury ma zazwyczaj postać pojedynczego lub wielokrotnego szeregu funkcyjnego o skomplikowanych składnikach i jej przeanalizowanie wymaga wykonania wielu żmudnych rachunków.

1.1 Rozwiązanie analityczne przypadku jednowymiarowego

Z punktu widzenia niniejszej pracy (przygotowania symulacji) analiza w układzie jednowymiarowym jest wstępem do rozważań numerycznych.

Jeżeli na końcach materiału, np. pręta metalowego o długości L, zostanie wytworzona różnica temperatur T1 - T2 ( np. T1 < T2) wówczas w materiale tym nastąpi przepływ ciepła Q określony równaniem empirycznym:
 

gdzie S -  przekrój poprzeczny badanego materiału.

Strumień ciepła przepływający w czasie dt wynosi natomiast:
 

Z drugiej zaś strony ilość ciepła ( dostarczona przez grzejnik) potrzebna do podwy ższenia temperatury materiału o DT określona jest klasycznym równaniem w postaci:

gdzie m - masa, c - jego ciepło właściwe, r - gęstość, a V - objętość.
 

Jeżeli rozpatrywany pręt znajduje się w warunkach, w których możliwa jest wymiana ciepła z otoczeniem, wówczas podlegające wymianie ciepło może być ogólnie określone równaniem w postaci:

gdzie h oznacza współczynnik wymiany ciepła pomiędzy prętem a jego otoczeniem.

Porównując wszystkie te zależności otrzymujemy:
 

co jest jednoznaczne z:
 

Jeżeli wymiana ciepła pomiędzy materiałem przewodzącym a jego jednorodnym ośrodkiem otaczającym podlega prawu Newtona i polega na przekazywaniu ciepła od pręta do tegoż ośrodka, wówczas uwzględniając ten związek otrzymujemy pełne równanie przewodnictwa temperaturowego:

k jest przewodnictwem temperaturowym materiału.

Aby znaleźć rozwiązanie analityczne powyższego równania trzeba najpierw sprecyzować warunki brzegowe z jakimi mamy do czynienia w rozważanym zagadnieniu.

Dla uproszczenia, ale bez zbytniego tracenia na ogólności rozważań, można przyjąć periodyczny profil temperatury jako jeden z możliwych warunków brzegowych. [2] 

gdzie T_n oznacza amplitudę zmian temperatury n-tej harmonicznej, a f _n  jej fazę początkową.
 

Natomiast drugi koniec materiału (x = L) ma ustaloną temperaturę - jest podłączony do chłodnicy o dostatecznie dużej pojemności cieplnej.

Temperaturę dowolnego punktu pręta można przedstawić jako:
 

Podstawiając to rozwiązanie do równania Fouriera dostajemy:
 

niech z²=(m-inw)/k  

Rozwiązanie tego równania jest znane i może posłużyć do rozwiązania równania Fouriera.  Podstawienie tego rozwiązania do równania Fouriera oraz oddzielne rozpatrywanie części rzeczywistej i urojonej pozwala wyznaczyć parametry rozwiązania, a następnie, po prostych rachunkach, współczynnik przewodnictwa temperaturowego.  Cały tok rozumowania oraz szkic rachunków można znaleźć w pracy [2]. W efekcie otrzymujemy wy rażenie na współczynnik przewodnictwa temperaturowego:

Analiza przypadków wielowymiarowych jest bardziej złożona. Zwykle stosuje się krzywoliniowe układy współrzędnych.

Dokładniejszą analizę przypadków wielowymiarowych i zagadnień bazujących na krzywoliniowych układach współrzędnych można znaleźć w pracach [1, 11].